Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen

A. Gruppe

B. RingC. KörperD. Verband

Ein distributiver Verband heißt komplementär, wenn er zwei Elemente n und e enthält, für die gelten:Ein distributiver und komplementärer Verband heißt BooLEEscher Verband oder BooLEsche Algebra.

E. Abbildung von Mengen mit algebraischer Struktur

1. Homomorphismus

Eine Abbildung A einer Menge M mit einer algebraischen Struktur auf eine Menge M‘ mit einer algebraischen Struktur heißt Homomorphismus, wenn

(1) die Verknüpfung(en) in M eineindeutig der (den) Verknüpfungen) in M‘ zugeordnet sind;

(2) die Abbildung des Ergebnisses der Verknüpfung(en) in M zweier Elemente von M gleich dem Ergebnis der zugeordneten Verknüpfung(en) in M‘ der Abbildungen der beiden Elemente ist.

Wird z.B. der Verknüpfung ∗ in M die Verknüpfung º in M‘ zugeordnet, so gilt für x,y ∈ M

A (x ∗ y) = A(x) º A(y)

Die algebraischen Strukturen heißen dann homomorph.

2. Isomorphismus

Ein Homomorphismus heißt Isomorphismus, wenn die Abbildung A bijektiv ist. Die algebraischen Strukturen heißen dann isomorph.

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